低年级孩子的数学，到底该怎么学？

2021 年 6 月 7 日
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题图：来自https://unsplash.com.
作者：陈楚，一土创校数学老师，哈佛大学教育学硕士。本文来自陈楚老师在家长课堂上的分享。文字整理：lily.
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今年，是我在一土的第五年。五年里，我一直都在教低年级的数学。家长目前普遍都比较关心孩子的数学思维，关心学前孩子的数学启蒙、孩子的数学发展，但可能普遍不太了解数学学习背后的规律。今天就把我的一些经验、一点思考和大家分享一下，然后回答一些家长们普遍关心的问题。

主要包括以下内容：
 
● 我认为的数学思维是什么？
● 小学前的启蒙阶段，家长可以如何做？
● 一、二年级的孩子在数学学习过程中的常见挑战。
● 家长要如何做来培养孩子对数学的兴趣和内驱力？
01.
 我认为的数学思维是什么？
家长们常常会问我数学思维到底是什么？如何提高孩子的数学思维能力？
 
首先，我想先说说数学思维不是什么。学思维不仅仅只是能够得出正确答案、会做题，也不是算数又快又好，就是数学思维好，更不是超前知道一些数学概念，这些都是不够全面的理解。
 
接下来，我们一起来了解一下，儿童在低年级及之前阶段的认知发展规律。发展心理学家让·皮亚杰说，儿童的认知发展规律可以分为四个阶段。2岁到7岁左右，处于前运算阶段。（一、二年级的孩子在具体运算的前期。）

▲ 图片来自陈楚老师

 

北京师范大学的林崇德教授认为，不论是语文素养还是数学素养，底层都是思维的培养，凡是思维就必定有其逻辑性。数学的思维包含了三种逻辑，一种叫动作逻辑思维，一种叫形象逻辑思维，还有一种是抽象逻辑思维。这三者是相辅相成的一个整体。
我们把让·皮亚杰教授的认知发展规律和林崇德教授的数学逻辑思维概念，两条线合在一起看，可以发现孩子整个的发展过程是螺旋上升、有起有伏的，并不是说在一个阶段，只有动作思维，在另个阶段只有形象思维。
 
在动作逻辑思维和形象逻辑思维发展之上，再生发出相对抽象的思维形式。比如说低年级的孩子开始比较不同物品的数量，按照一定的标准分类文具，开始用语言表述出对于守恒、互逆这样的抽象概念，但是他们不会说出守恒或互逆，比如说加法怎么转换为减法，低年级的孩子也更容易写出比较抽象的算式来概括一些数学情景，甚至能够慢慢地在脑中完成一些推理比较的过程，这就是抽象思维的生发。
 
总之，皮亚杰教授和林崇德教授告诉我们，时候到了，该发生的思维会有儿童本身的生理机制帮助他来发生。
 
另外一位我自己也非常尊敬的维果茨基教授说：给儿童建构知识，只有足够的自由还不太够，我们的教育教学需要给予儿童适当的挑战，以最大可能地发挥他们的潜能。除此之外，维果茨基强调成人或同伴在儿童的整个认知发展心理中也有特别重要的影响，孩子要在成人和同伴的互动当中去探索、去发现，去不断生成新的知识，获得思维上的成长。这也就是我们现今学校教育当中所谓的同伴学习、合作学习的理论基础。
 

▲图片来自陈楚老师

 
近年来，我们创新教育领域的教育工作者发现或许把皮亚杰教授和林崇德教授的观点综合起来是最能指导教育教学的。所以一方面我们会强调给儿童适当建构知识的自由，满足他们的兴趣和需要；另外一方面，我们也应该为儿童提供适当的认知挑战，还有合适的与成人、同伴互动的学习环境。
 
（下面，我会根据家长的具体问题，依据启蒙阶段的案例，来做一些解答。）
 
02.
 小学前的数学启蒙阶段，家长可以如何做？
 

家长的问题：孩子上K班，对于图形的理解没问题，但是对于数字没有什么概念，虽然理解了什么叫凑十法，但实际计算仍然很弱，减法也不太行。认钟表也有点费劲，尤其分针指到9-12之间，时针就一定会读错。对数字相关的事情特别没有兴趣，对图形和简单逻辑等等其他的事情都有兴趣。到一年级会不会跟不上？

 
这是K班孩子非常正常的发展现象，到了一年级，对孩子来说，依然是减法没有加法容易学，对于更抽象的数和计算，依然需要时间来领会。所以，不是加减法会了，就是做好了幼小衔接。
 
上了一年级以后，在一土，还是会从0开始分阶段的认识数。数的认识教学，都是从数数开始的。我说的数数是要手口一致的数，指一个数一个，一一对应。很多幼儿园的孩子会从一背到一百，其实那个不叫数数，那个叫唱名。
 
我们是怎么教的呢？刚开始我们的老师会带孩子们从绘本的情境引入，动手去体会原始人的数数方法，比方说结绳计数，然后模仿古人手口一致地去数石子。这都是在强化和训练孩子的动作思维。再比如用各种方式摆一定数量的棋子，在形和数上开始建立一些联系。
 
从数数推进到表示数，也就是数的读写，我们一般不会直接上来就写阿拉伯数字，而是会从直观性比较强的，像楔形数字、罗马数字，古代中国的算筹这样的数字系统开始，通过捏彩泥、画图这样的活动来激发学生的形象思维，这个时候再去介绍阿拉伯数字系统，小朋友就更能接受了。
 
一土学生的学习单里，除了他开始练习写数字的顺序、笔画，还是会再回到直观形象的思维，让他们给数字去配具体的图。这个我们会按照一定的次序引入一些教具。打算盘是5个珠子一串的，小棒的规定是10个一组捆在一起。
 
我们还有第纳斯方块（base ten），每10个摆成一根。这些串、捆、摆的动作，小朋友是需要练习的，这就是在强化他的动作思维。一定要去经历操作的过程，这样他手脑心合一，印象才更加深刻。这个过程就是逐步有机地引导孩子有结构地认识数。
 
到了10以上的数的认识，我们才会引入结构性非常强的计数器，也才开始讲十进制，满十进一，给孩子看一些尺子上的模型，然后竖轴的模型才引出来。这些教具都对应着孩子不同阶段的形象思维发展有序地出现。
 
在完善认、读、写数字的体系后，我们又会开始认识数的顺序、组成、分与合，然后才是用加减法的故事场景去引入加减法，最后才会过度到符号化的写算式的阶段，会变得越来越抽象。
 
我们还很喜欢的一个做法，就是请孩子用算式来编故事，画出来、讲出来，用不同的词汇说出加法和减法的意思，但不能说“加”和“减”。他们就会讲很多有趣的事，这也是在训练小朋友听的能力。
表达和倾听的过程，对思维的外化特别地有帮助。我们也在这个过程中，让孩子把抽象的算式继续用具象的小棒、方块或者是用计数器拨出来，继续强化肌肉记忆、强化动作思维。这样，数学思维的整合构建就越来越沉淀了。

▲图片来自陈楚老师

 
 
家长问题：如何有效地利用生活场景来关联数学思维的概念，在家里我们可以做哪些数学活动？
   
如果只针对学前阶段来讲，最重要的就是实践，然后通过实践发展出各种各样的动作思维，积累数学经验。这里我列举四类活动：运动，阅读，家务和游戏。
 
运动，相信大家通过各种各样的渠道可以了解到运动和大脑的发育息息相关。有很多量感的体验，实际都是在体育活动中完成的。也有很多科学研究表明，运动发展的水平和数学的学业成绩之间有正向关联。
 
阅读在数学里的作用就是在故事情境中去体会、去发展，让他看到原来数学在生活里，可以是这样的，还可以是那样的。
 
关于阅读，我推荐几套数学绘本，孩子在低年级阶段都可以读：
 
  • 汉声数学系列
  • Math Satrt 数学启蒙阶段1-3
  • 数学小子丛书
  • 从小爱数学
  • 数学读本 一/二年级上，下

▲图片来自陈楚老师

 
家务。做家务几乎都包含了动作思维的实践积累，比如说厨房的工作，烘焙在量感建立上特别有帮助：秤一秤这个面粉多重，大概有多少；然后分筷子就可以来理解一一对应，数食材以群计数。2个2个数，5个5个数，10个10个数都是可以的。
 
孩子可以看着家长来操作，吃完饭以后，跟着家长一起做力所能及的就行。甚至可以抓一把豆子来估数、感知量。而与厨房工作相关的采买、分类、统计，就跟运算和统计有关联，也很贴近生活。所以做家务很能强化动作思维，积累足够直观的数学经验。
 
孩子参与到类似的生活情景中，到了小学阶段才能更容易地被调动起来这些思维能力，帮助自己把数学思维向更加抽象、更加高层、更加深度的水平去发展。林崇德教授说K12教育阶段在我们国内的整个教学，各科都有的现象就是动作思维的缺失。所以，如果能在学前积累更多的实践经验，对于孩子的学习会非常有帮助。
游戏方面，我们可以做结构化的一些活动。像折纸培养立体空间感，甚至可以锻炼手指的小肌肉，有助于写字。棋牌类对数感、情感都会有帮助。非结构化的活动更多地让孩子自己琢磨、自己探索，比如说搭乐高就非常典型。

▲图片来自陈楚老师

03.
 学习过程中的常见挑战 
 
 
家长问题：孩子基础运算能力的日常训练少，能不能应对未来的竞争？
   
我在回答这个问题的时候，其实想讲两个问题，首先运算能力到底是什么？其次，未来的竞争是什么样的？
 
运算能力到底是什么呢？是算理、策略和熟练度，也就是速度和精度整合起来的一种数学能力。我们通常都只会看机械化以后的速度和精度，以为这个就是抽象思维，就是数学思维了，其实不是这样的。我们忽略掉了算理——怎么算的过程和策略，理解多种方法并做出自己选择的偏好，这样更底层的东西。
 
机械地去练习计算不一定能提高整体的运算能力，更谈不上数学思维。那我们在低年级的时候，其实就不光会用纸笔测验、检验运算的速度和精度，当然它也是评估的一部分，我们还需要关注到学生算理和策略的掌握。
 
在课堂上，我们会做图中这样一对一的动手操作，还有一些表达的测评，看看学生到底对算理和策略掌握到什么样的水平。对更高年级的孩子，我们在纸笔测试中也有多种方法能够测出他的策略，还有算理是否掌握。比如说对于一些题，就要求用多种方法计算。
 
然后讲到竞争，我自己的观点是这样的，传统我们都是以纸笔测试为主，所以这个竞争的导向是熟练度，你算得快，算得准就可以。但是它是不是更全面地衡量了孩子的数学素养？未来咱们的测评不会只以纸笔测试为单一的测评方式，而且现在我能够看到的纸笔测试的题目，体制内体制外都在革新，越来越综合越来越开放，要求学生即便对数学也是有相当的阅读量和相当的生活经验，越来越考验学生学习过程中的学习品质，甚至考验老师的教法和学生学习的整体有效性。
 
一土中高年级的孩子会面对更复杂的表现性任务，这时就不是只求结果的计算了，还有统筹、统计的融合，会更关注过程性的表现。
 
家长问题：是否需要额外的练习或者参与课外班？例如，奥数的学习是否要在日常交流中拓展到更深的数学知识？
 
首先，我们先明确，真的不是所有的孩子都需要学奥数。然后，还可以探求一下孩子想参加这样的课外班，或者说我们想让他参加课外班的背后到底是在寻求什么？
 
孩子可能仅仅是不想在其他同伴面前丢人，尤其是和其他学校的孩子，或者是想和人家一样尝试更大的挑战，那我们可以鼓励他这种积极的态度，再和他一起去研究生活场景当中的数学。在他感兴趣的场景当中学习数学，比直接给他报奥数班要更有帮助。
 
如果孩子真的非常想去，我们也不反对，可以尝试一下，因为现在的“奥数”项目也会有很多革新、很多变化，关键是看孩子的反应和兴趣，看他是不是真的喜欢。
 
当跟孩子沟通时，家长应避免以拓展的名义，主观地给他灌输。例如：我就是想让你知道方程、高数，我就不信我这个学霸还不能给你讲明白。家长还是应当以实践当中出现的数学模型去跟他探讨，多听听孩子是怎么想的。
 
04.
 家长需要如何做，才能培养孩子对数学的兴趣和内驱力 
 
家长的问题：当孩子出现学习困难的时候，家长可以做些什么？
 
我理解这个问题是说：一方面是想了解孩子的学习情况；另一方面是判断出孩子遇到挑战的时候，家长该怎么帮忙？
 
首先，拥抱自己的情绪，深呼吸，表达自己的感受。大家应该也看过很多辅导孩子的视频，那场面堪称鸡飞狗跳。我也非常理解，家长在看到孩子没有掌握在我们成人看来特别简单的东西时，会很着急——“那么简单你都不懂、都不会？！”“讲了很多遍，还反复犯错。”然而从孩子的角度来看，学习过程中的“曲折反复”现象都是很正常的。老师每天也都在经历。
 
建议家长先平复自己的情绪，让自己平静下来后，再去跟孩子沟通，不评判、不贴标签。那我们具体可以怎么说？可以用缓和或者平静的语气说“你是怎么想的？”，如果是非常急躁、严厉或者生气的语气，这句话就变成“你是怎么想的！”这是不同的。
 
作为老师，我在课上也经常会问孩子这个问题，你是怎么想的？为什么？你怎么得到的？引导他把自己思维的过程说出来。然后还可以这样讲：“哇，你这个错太有价值了！”仔细地去剥开孩子的错误来看，他都不会有所谓彻头彻尾的错误，一定有值得肯定的地方。
 
我在课堂上，其实非常希望孩子们能暴露出有价值的错误，这时我就会说：“啊，你给大家提供了一个很好的学习机会。这个错太有价值，对大家太有帮助了，你来说说你怎么想的。”大家在讨论这个问题的时候，专注的不是他错这件事，不是因为错，这个人就笨，而是在错的当时，怎么能够找到对，这个思维的过程可以是什么样的。
 
并且，当家长知道孩子具体表现的时候，也可以去寻求老师的支持。老师观察到孩子在学习上出现非常大挑战的时候，也会适当地主动联系家长。大家是一个有机合作体，会共同支持孩子的学习。
 
最后讲到兴趣和内驱力，其实刚刚讲了这么多，我觉得可以相对比较容易的总结出来，咱们数学学习的特点——数学学科的特征是对错分明的，在整个学习的过程当中，一开始就容易打击到孩子的内驱力。
 
我认识的很多自认为数学不好的人或者是到中高年级遇到很多数学学习困难的孩子，大部分就是折在没有信心上。或者在更早的时候，被成人贴了标签，没有得到应有的心理支持。
 
所以我们不论这个果，单看原因——本质问题常常出在情感态度上。
所以我们要接纳孩子的状态：不贴负面的标签——“怎么这都学不好”，“你数学就是不好”；持续地给予孩子支持：一是来自老师、也可能是来自阅读材料的技术支持，第二个，也是最重要的，是精神层面的支持和沟通。做好这个土壤，就是对孩子莫大的帮助。
 

▲图片来自陈楚老师

 

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