为中国的未来培养幸福的一代人
众所周知，今年夏天以来，一系列的政策文件让课外培训的规模大大减少，在学校内，作业的布置量也受到了限制。对于数学学科，双减的影响也非常明显，因为数学是课外补习里需求最大的一门学科。
而且有统计表明，中学生在各门课程中，认为存在困难比例最高的科目也是数学。以前经常有学生向我征求意见：老师，我数学考得不好，是不是得报个课外班了？学生也会自然而然地把课外补习当成提升数学成绩的不二选择。
另外，一提到数学学习，做题是绕不过去的话题，特别是这些年，有了刷题这个新名词。刷题，普遍理解就是大量做题，类似于我们当年所说的题海战术，“刷”也很有横扫一切的气势。
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同时，我们也注意到，刷题是一个数量积累的过程，它的目的是要在短时间内接触大量的题目。但如果是花费时间做了大量本来就会做的题，不过就是一些重复低效的训练，并没有本质提高；如果这些题不全是自己做出来的，由于时间短，来不及消化，最终的结果是自己也搞不清楚哪里会哪里不会。
总之，如果对做过的题目不进行总结和整理，单纯地刷题是投入产出比非常低效的一种学习方式。
之前的很多课外辅导机构，会针对当前学习进度进行题型的总结，这一定程度上帮助了同学们更有针对性地刷题，对于很多同学在提高数学成绩，特别是在考试分数上还是有效果的。
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但是，我们也应该注意到，这些不是自己总结出来的题型，学起来还是以记忆为主，通过批量的练习来达到一定的熟练度，力求在考场上能条件反射般地识别出题目的类型，并且把解题的思路或者套路正确地写出来不太像是针对心智技能，更像是在对某种操作技能的训练。
有教育学者研究表明：适度的挑战性问题能够激发创造力，但对于解题技巧的反复操练却会使人的思维愈加禁锢，反而让学生逐渐丧失了创造力。
在过去，课外辅导班往往对提分有效果，但对学生深度思维的培养贡献甚微，或许还可能是有害的。
因此，我想还是应该静下心来从数学的学科特点出发，扎扎实实地打好基础，修炼内功，而不是把目光都放在各种解题套路上。今天，我想从日常学习的步骤中逐一来讲解一下数学的学习。
首先，对课上容易走神，而且走神之后再回来听课就跟不上的同学，预习非常必要。因为预习过，对于新课的主题就有了比较清晰的认识，上课时就比较有底，对比老师讲课和预习时的理解是否一致，再听听老师进一步的讲解有哪些是你没有意识到的，这样，即使偶尔走神也不会一头雾水、不知所云。
而对听课没有障碍的同学，从比较功利的角度来说，也一样有预习的理由。现在中考非常喜欢考的一类题型，叫做“新定义题”，这类题往往是压轴题的难度，考察的是学生的快速学习能力，通过对一个之前课本上没有出现过的数学概念的定义，考察学生对新概念的理解，并证明或者分析一些相关的性质结论。这类题目的基础就是自学能力，而日常的预习恰好是最好的练习场所。
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从更长远来看，我们现在提倡终身学习，如今的知识更新迭代很快，毕业后走向社会还需要不断地学习新的知识和技能。彼时不会再有课上的PPT、学案和重点总结，一切有效信息都需要自己来获取。
现在，同学们的说明性文字阅读很少，而在将来读大学或者工作后，需要阅读更多的说明性文字，从这个角度来看，预习对同学们的长远发展意义更大。
具体到预习的步骤，首先肯定是要通读课本，这件事本身的价值很大。很多同学可能会觉得，课本上的内容太简单了。但需要明确的是，课本本身是最权威的教学材料，都是本领域资深的专家编写的，里面的内容也最能体现学科本质。如果没有掌握学科的基本概念，即使会做一些题目也如同是在沙中筑塔。
如何才能在预习时实现对课本中重要概念的理解呢？记得在读研究生的时候，我的导师曾经不止一次告诉我，要找例子，把一个具有代表性的例子反复地琢磨透，就能够把一个理论的来龙去脉，条件结论彻底搞懂。（这句话我一直印象深刻，无论是我当年求学还是之后这些年任教的时候，都会采用这个方法。）
现在我把这个方法拓展为：举一反三，就是说你要搞懂一个概念，那么你需要三类例子来帮助你理解。即：正例，反例和特例。（具体怎么做，点击之前的文章链接查看《没有天赋，能学好数学么？》）
所以，预习时，不要急着去做题，只需要对课本上的基本概念，基本结论反复思考，有自己的理解即可。这样，到上课的时候就可以带着自己的思考参与到课堂中，也就不容易走神和掉队了。
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做好了预习，第二个学习的环节就是上课（在这里，我没法向要求我自己的学生那样来给大家建议，因为每个老师有不同的授课风格，课堂组织形式，同学的参与方式也不同。）。上数学课，总的原则就是积极交流，主动思考。数学课上，一定得高强度用脑，否则收获不大。
双减后，课后的作业量少了，教师在布置作业的时候都会更加用心，学生在做作业的时候也要更加专注和高效率。以前我们题目多，学生做起来托托拉拉，有时做到深夜。其实不一定是因为题太多太难，恰恰是学生们的消极态度导致了拖延。做两道题，出去喝个水，再做一道题，看看手机，总之分心的事情很多。
现在题目少，为了更好地达到练习的效果，需要保持专注，一鼓作气，把这些题目都做完。在完成这些作业题目之后，我们还应该有一个对于作业题目的复盘，就是停下来看一下自己的解题过程，思考一下：
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看看这道题自己是怎么解出来的？完成解法的关键性步骤是哪些？
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回忆自己是怎么想出来的？
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看看是不是还可以有其他的方法，并把过程写出来（一题多解）。
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比较不同的解法，挖掘共同的本质（多解归一）。
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把第4步总结出来的普适性方法，归档整理（武器库里又多了新的兵器）。
做到上述几点，才能把作业的训练效果最大化。当然，如果在做作业的时候遇到了困难，有题目没有做出来，同样需要反思，自己的困难究竟在哪里，自己想用什么方法，需要什么条件，遇到的障碍又是什么。
这样，在之后向老师同学请教的时候才能更好地发现自己的认知偏差。而不是一道题不会做，找别人给讲讲，能听懂就好了。这种反思意识，一定是在日常做题中非常明确的，否则，就是我刚才说的单纯刷题，是一种低效劳动。
作业做完，也认真总结过，要不要再找些别的题目来做呢？我觉得在学有余力和有更多灵活安排和支配时间的情况下，适度练习是可以选择的，加上如果真的又喜欢数学，多做点题也合情合理。
对于学习上还是有些吃力，能够勉强跟上进度的孩子，我的建议是做好教科书上的书后题，确保这些题目先过关，是学好数学的基础；而对于数学成绩比较优秀，课内有点吃不饱的同学，也可以根据自己的时间安排，自主选择一些教辅书。
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复习是学习中一个重要的环节。我们在学过一个单元或者一个章节后，都会有测验，每学期还有期中期末的考试，而准备这些检测需要复习。除此之外，建议同学们在周末也养成复习的习惯。
针对数学学科的复习，我想首先还是从日常的学习材料、教材、讲义、笔记开始。在课上课后的标记标注，要首先浏览一遍，回忆第一遍学习时写下这些注记时的知识（做注记一定是因为你觉得难，或者这些本来就是老师的板书，基本都是重要的公式定理。）。
接下来是复习自己的作业和练习，特别是要重视错题，这是能否取得进步的关键！
而改错时候的关键是要找出自己错误的地方，理清自己哪一步没有想到，把思维的断路联通起来，改错就是对思维过程的再认识。
如果家长有时间陪伴孩子的学习，建议您可以检出孩子的改错，如果可能，让孩子给您直接讲一讲，看一看他是不是真的理解了。
如果孩子真的理解了，相信一定可以给您讲明白，如果您本身对孩子所学的知识十分了解，还可以装糊涂来反问孩子几个问题，引发孩子的思考，再让他讲给您听。
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有调查表明，学习效果最好的学习形式就是教授给他人，这个学习的平均留存率达到90%，也是检验孩子学习效果的最佳途径。
改完错，我们就会发现一个阶段学习后的短板，对于短板，我们应该要适度地刻意练习。最常见的短板是马虎粗心的计算错误，在现在这个信息技术高度发达的时代，算得快固然算不上什么了不起的技能，但算不对依然还是不容忽视的问题，如果不加以重视，时间长了会非常影响自己学习数学的信心。
而解决这个问题比较直接的办法就是好好练一练。
我建议将这样的训练融入到日常的学习，在平时做作业的时候，设定一个周期，目标就是计算不出错，这种把计算过程专注为首要任务的方式也是一种刻意练习。
其实不仅是计算，数学学习中对于空间想象能力也有一定的要求，我本人的空间想象能力就不算好，记得当初学立体几何的时候就比较吃力，后来读研究生时的研究方向也是微分几何学，总是陷进抽象的问题中而找不到几何直观的理解。
于是我就刻意练习画图，平面图形，立体图形，符合透视原理的三视图，只要拿到一个问题，我就先画图，即使是抽象的高维问题也尽可能用图形来表示，我发现图画得多了，空间想象能力确实得到了提高，为自己后来研究问题和工作后的教学也打下了一个好的基础。
另外，还有读题的问题，针对读题的刻意练习可以采用条件改写的方式，把对题目条件的理解转换成数学的语言写下来，从文字到符号的转码过程，也会引发我们对题目条件的深度思考，从而帮助自己解决问题。
澄清一点，我说的刻意练习不是题海战术，题海战术的目的是为了应付考试，希望考试的时候都是自己熟悉的题型。但这种想法不切实际，而且练习的往往都是重复的解题套路，思维水平并不见得提高。而我所有的建议都是针对数学学习本身，是希望能够全面提高同学们的数学学科素养。
以上是我对数学学习的各个阶段给出的建议。而孩子如果对数学提不起兴趣，或者是对数学学习缺乏信心，怎么办？这两个问题其实有一些共性，都是来自于对数学的惧怕，深层次的分析就是来自于听不懂课，和对做不对题目的挫败感，甚至有同学觉得自己是因为缺乏天赋学不好数学。
关于学数学是否需要天赋，我在之前的文章里也做过详细的剖析，可以点击链接查看《没有天赋，能学好数学吗？》。
说到如何提升数学学科的兴趣，我想可以从课堂之外获得一些灵感。首先可以通过阅读与写作的方式开始。我推荐选择一些介绍数学文化和数学史的书籍，因为数学的发展历史其实就是人类文明不断向前深入探究的历史。
前人研究数学时的困难，和我们学生现在学习时遇到的困难会有某些认知上的相似性。同学们会发现，古希腊人和我们对于无理数会有相同的困惑，古埃及人执着于单位分数的计算来进行分配，日本则通过画斜线的方法完成两位数的乘法，拿破仑的军队通过观测全等三角形对应边算出了河水的宽度，这些故事让我们对于课堂里的数学知识增进了亲切感。同时也帮助我们对于数学概念在具体情境下的应用有了更多的感知，引发我们对数学原理的更多思考，从而达成了更深的理解。
而对于英文基础比较好的同学，我们还可以选择一些英文的数学材料来阅读。特别是国外的数学教材，首先，国外的数学教材注重概念理解，在内容编排和例题选择上有一定的趣味性。
另外，现代数学的理论体系是源自于西方的，我们很多数学概念都是翻译过来的，读英文会帮助你从不同的角度来理解。比如我们说有理数这个概念，我们都熟悉，但是为什么整数和分数就有理，无限不循环的小数就无理呢？
这个名字为什么这么叫？我们看英文有理数这个单词是rational number. 这个rational是名词ratio的形容词形式，意思是比、比例，那么rational number就可以写成整数的比的数，这一下就把有理数的本质说清楚了，而翻译成有理数，很大程度源自于把rational按照理性的意思翻译了，于是irrational number本来是不能写成比例的数的意思，结果现在译成了不理性的数，也就是无理数了。
还有一个例子就是等比数列，这个词是中文名字更接近本质，而英文却叫geometric sequence，我们有时候说数字增长很快，就说呈几何级数增长，其实就是这个等比数列。
而英文这么叫是因为在几何的相似形中，会有很多几何级数出现，例如两个物体如果相似比是r，那么表面积的比就是r平方，体积的比就是r的三次方，这个是等比数列最早被广泛研究的背景，于是英文就取名叫geometric Sequence了。这两个例子给了我们很好的启发，英文学习对数学的学习也是有帮助的。
关于写作。刚才推荐让孩子给家长讲题，其实就是锻炼孩子深度思考抓住本质，而把自己的想法写下来就更是一个系统化的梳理和输出，要求比讲出来更高。
数学的写作可以说是写数学小论文，这个论文当然不是要求学生有独立的科研成果，而是以报告或者综述的形式把一个数学概念或者一类数学题型说清楚，起到巩固提高的目的。比如学完了负数这一章，孩子就可以写一篇说明文，向低年级的同学介绍负数是怎么一回事。
现在我们还有一些跨学科的项目制学习，会用到数学，最后也需要写一个报告来做项目展示，甚至还有针对数学的一些文学和艺术的创作，比如创作一个关于数学的故事，或者设计一个基于几何对称的艺术图案等等。这些都可以将孩子从数学学科之外和数学建立起链接，增强数学的学习兴趣。
从数学学科本身，我们可以去寻求和实际生活相结合的例子，比如数学建模就是一个很好的学习方式。在一土，我们的数学课上就有一个对比几种共享单车的哪个更好的建模任务，这需要学生自己来构思分析问题的角度，做出测量，给出算法，然后做出结论，这种在真实情景下的学习，肯定比单纯的课堂教学效果更好。
我想强调的是，无论用怎样的方式来提升对于数学学习的兴趣，在日常的学习过程中依然会遇到困难，所以，拥有成长型思维尤为重要，同时也要有坚毅的品质。能够克服困难，持之以恒才是学习取得成功的不二法门；浅尝辄止，永远待在舒适区的学习对于任何一科都不会有效果。
最后，关于数学学习，我推荐两本书，一本是台湾数学家吴作乐写的科普作品《这才是好看的数学》，另一本是英国数学家写的通俗易懂的数学史著作《数学的故事》，这两本书可读性都比较强，对于增长学生的学习兴趣会有帮助。
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